15 najtrudniejszych pytań matematycznych SAT w historii (2023)

$$C=5/9(F-32)$$

Powyższe równanie pokazuje, jak temperatura $F$ mierzona w stopniach Fahrenheita odnosi się do temperatury $C$ mierzonej w stopniach Celsjusza. Na podstawie równania, które z poniższych musi być prawdziwe?

1. Wzrost temperatury o 1 stopień Fahrenheita odpowiada wzrostowi temperatury o 5/9 $ stopni Celsjusza.
2. Wzrost temperatury o 1 stopień Celsjusza odpowiada wzrostowi temperatury o 1,8 stopnia Fahrenheita.
3. Wzrost temperatury o 5/9 $ stopnia Fahrenheita odpowiada wzrostowi temperatury o 1 stopień Celsjusza.

A) Tylko ja
B) Tylko II
C) Tylko III
D) Tylko I i II

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Pomyśl o równaniu jako o równaniu prostej

$$y=mx+b$$

gdzie w tym przypadku

$$C= {5}/{9} (F-32)$$

Lub

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Możesz zobaczyć, że nachylenie wykresu wynosi ${5}/{9} $, co oznacza, że ​​wzrost o 1 stopień Fahrenheita oznacza wzrost o ${5}/{9} $ o 1 stopień Celsjusza.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Zatem stwierdzenie I jest prawdziwe. Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że wzrost o 1 stopień Celsjusza jest równy wzrostowi o {9}/{5} $ stopni Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

1$$= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Ponieważ ${9}/{5} $ = 1,8, stwierdzenie II jest prawdziwe.

Jedyna odpowiedź, która ma zarówno stwierdzenie I, jak i stwierdzenie II, jest prawdziweD, ale jeśli masz czas i chcesz być absolutnie dokładny, możesz również sprawdzić, czy stwierdzenie III (wzrost o {5}/{9} $ stopnia Fahrenheita jest równy wzrostowi temperatury o 1 stopień Celsjusza) jest prawdziwe :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (\co \jest ≠ 1)$$

Wzrost o 5/9 $ stopnia Fahrenheita prowadzi do wzrostu o ${25}/{81} $, a nie o 1 stopień Celsjusza, więc Twierdzenie III nie jest prawdziwe.

Ostateczna odpowiedź to D.

Równanie${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$jest prawdziwe dla wszystkich wartości $x≠2/a$, gdzie $a$ jest stałą.

Jaka jest wartość $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Istnieją dwa sposoby rozwiązania tego pytania. Szybszym sposobem jest pomnożenie każdej strony podanego równania przez $ax-2$ (aby pozbyć się ułamka). Gdy pomnożysz każdą stronę przez $ax-2$, powinieneś mieć:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Powinieneś wtedy pomnożyć $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ za pomocą FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Następnie zmniejsz po prawej stronie równania

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Ponieważ współczynniki wyrazu $x^2$ muszą być równe po obu stronach równania, $−8a = 24$, czyli $a = −3$.

Inną opcją, która jest dłuższa i bardziej nużąca, jest próba podłączenia wszystkich możliwych odpowiedzi dla a i sprawdzenie, która odpowiedź sprawia, że ​​obie strony równania są równe. Ponownie, jest to dłuższa opcja i nie polecam jej do rzeczywistego SAT, ponieważ zmarnuje zbyt dużo czasu.

Ostateczna odpowiedź to b.

Jeśli $3x-y = 12 $, jaka jest wartość ${8^x}/{2^y}$?

A) 2$^{12}$
B) 4$^4$
C) 8$^2$
D) Wartość nie może być określona na podstawie podanych informacji.

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Jednym ze sposobów jest wyrażanie

$${8^x}/{2^y}$$

tak, aby licznik i mianownik miały tę samą podstawę. Ponieważ 2 i 8 to obie potęgi 2, zastąpienie 2^3$ 8 w liczniku ${8^x}/{2^y}$ daje

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

które można przepisać

$${2^3x}/{2^y}$$

Ponieważ licznik i mianownik mają wspólną podstawę, to wyrażenie można zapisać jako $2^(3x−y)$. W pytaniu stwierdza się, że $3x − y = 12 $, więc wykładnik można zastąpić 12 $ 3x − y $, co oznacza, że

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Ostateczna odpowiedź to A.

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Aby znaleźć odpowiedź na to pytanie, najpierw musisz znać wzór na obliczenie obwodu koła.

Obwód $C$ okręgu wynosi $C = 2πr$, gdzie $r$ jest promieniem okręgu. Dla danego okręgu o promieniu 1 obwód wynosi $C = 2(π)(1)$, czyli $C = 2π$.

Aby dowiedzieć się, jaką część obwodu stanowi długość ${AB}↖⌢$, podziel długość łuku przez obwód, co daje $π/3 ÷ 2π$. Ten podział można przedstawić jako $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Ułamek 1/6 $ można również zapisać jako 0,166 $ lub 0,167 $.

Ostateczna odpowiedź to 1/6 $, 0,166 $ lub 0,167 $.

$${8-i}/{3-2i}$$

Jeśli powyższe wyrażenie zapiszemy w postaci $a+bi$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi, jaka jest wartość $a$? (Uwaga: $i=√{-1}$)

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Aby przepisać ${8-i}/{3-2i}$ w standardowej postaci $a + bi$, musisz pomnożyć licznik i mianownik ${8-i}/{3-2i}$ przez sprzężenie , $3 + 2i$. To jest równe

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Ponieważ $i^2=-1$, ten ostatni ułamek można uprościć do

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

co upraszcza dalej do 2 $ + i $. Dlatego, gdy ${8-i}/{3-2i}$ jest przepisywane w standardowej postaci a + bi, wartość a wynosi 2.

Ostateczna odpowiedź to A.

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym w punkcie B. Zatem $\ov {AC}$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABC, a $\ov {AB}$ i $\ov {BC}$ są przyprostokątnymi trójkąt prostokątny ABC. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Ponieważ trójkąt DEF jest podobny do trójkąta ABC, gdzie wierzchołek F odpowiada wierzchołkowi C, miara $\angle ∠ {F}$ jest równa mierze $\angle ∠ {C}$. Dlatego $ grzech F = grzech C $. Od długości boków trójkąta ABC

$$sinF ={\przeciwległa \bok}/{\przeciwprostokątna}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Dlatego $sinF ={3}/{5}$.

Ostateczna odpowiedź to ${3}/{5}$ lub 0,6.

Niekompletna tabela powyżej podsumowuje liczbę uczniów leworęcznych i praworęcznych według płci dla uczniów ósmej klasy w Keisel Middle School. Uczennic praworęcznych jest 5 razy więcej niż studentek leworęcznych, a studentów praworęcznych jest 9 razy więcej niż uczniów leworęcznych. jeśli w szkole jest łącznie 18 uczniów leworęcznych i 122 uczniów praworęcznych, które z poniższych stwierdzeń jest najbliższe prawdopodobieństwu, że wybrana losowo uczennica praworęczna jest kobietą? (Uwaga: załóżmy, że żaden z uczniów ósmej klasy nie jest jednocześnie praworęczny i leworęczny.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Aby rozwiązać ten problem, powinieneś utworzyć dwa równania, używając dwóch zmiennych ($x$ i $y$) oraz podanych informacji. Niech $x$ będzie liczbą leworęcznych studentek, a $y$ liczbą leworęcznych studentów. Korzystając z informacji podanych w zadaniu, liczba praworęcznych studentek wyniesie 5x$, a liczba praworęcznych uczniów płci męskiej wyniesie 9y$. Ponieważ całkowita liczba uczniów leworęcznych wynosi 18, a liczba uczniów praworęcznych wynosi 122, poniższy układ równań musi być prawdziwy:

$$x + y = 18$$

$5x$ + 9y = 122$$

Kiedy rozwiążesz ten układ równań, otrzymasz $x = 10 $ i $y = 8 $. Tak więc 5*10, czyli 50, ze 122 praworęcznych uczniów to kobiety. Dlatego prawdopodobieństwo, że praworęczny uczeń wybrany losowo jest kobietą, wynosi {50}/{122} $, co z dokładnością do jednej tysięcznej wynosi 0,410.

Ostateczna odpowiedź to A.

Jeśli kupujący wchodzą do sklepu ze średnią szybkością $ r $ kupujących na minutę i każdy pozostaje w sklepie przez średni czas $ T $ minut, dana jest średnia liczba kupujących w sklepie $ N $ w dowolnym momencie według wzoru $N=rT$. Ta zależność jest znana jako prawo Little'a.

Właściciel sklepu Good Deals szacuje, że w godzinach pracy do sklepu wchodzi średnio 3 kupujących na minutę, a każdy z nich przebywa średnio 15 minut. Właściciel sklepu korzysta z prawa Little'a, aby oszacować, że w sklepie jest 45 kupujących w dowolnym momencie.

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Ponieważ w pytaniu stwierdza się, że prawo Little'a można zastosować do dowolnej pojedynczej części sklepu (na przykład tylko do kolejki do kasy), to średnia liczba kupujących $N$ w kolejce do kasy w dowolnym momencie wynosi $N = rT $, gdzie $r$ to liczba kupujących wchodzących do kasy w ciągu minuty, a $T$ to średnia liczba minut, które każdy kupujący spędza w kolejce do kasy.

Ponieważ 84 kupujących na godzinę dokonuje zakupu, 84 kupujących na godzinę wchodzi do kasy. Należy to jednak przeliczyć na liczbę kupujących na minutę (aby można było użyć T $ = 5 $). Ponieważ jedna godzina ma 60 minut, stawka wynosi {84 $ \kupujących \na \godzinę}/{60 \minut} = 1,4 $ kupujących na minutę. Używając podanego wzoru z rentownością $ r = 1,4 $ i $ T = 5 $

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Dlatego średnia liczba kupujących $N$ w kolejce do kasy w dowolnym momencie w godzinach pracy wynosi 7.

Ostateczna odpowiedź to 7.

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Według pierwotnych informacji szacunkowa średnia liczba kupujących w pierwotnym sklepie w dowolnym momencie (N) wynosi 45. W pytaniu stwierdza się, że w nowym sklepie kierownik szacuje, że średnio 90 kupujących na godzinę (60 minut) wchodzi do sklepu, co odpowiada 1,5 kupującym na minutę (r). Kierownik szacuje również, że każdy kupujący przebywa w sklepie średnio 12 minut (T). Tak więc, zgodnie z prawem Little'a, w nowym sklepie zawsze jest średnio $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupujących. To jest

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

procent mniej niż średnia liczba kupujących w oryginalnym sklepie w dowolnym momencie.

Ostateczna odpowiedź to 60.

Na płaszczyźnie $xy$ punkt $(p,r)$ leży na prostej o równaniu $y=x+b$, gdzie $b$ jest stałą. Punkt o współrzędnych $(2p, 5r)$ leży na prostej o równaniu $y=2x+b$. Jeśli $p≠0$, jaka jest wartość $r/p$?

A) 2 $/5 $

B) 3/4 $

C) 4/3 $

D) 5 $/2 $

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Ponieważ punkt $(p,r)$ leży na prostej o równaniu $y=x+b$, to punkt ten musi spełniać to równanie. Podstawiając $p$ za $x$ i $r$ za $y$ w równaniu $y=x+b$ daje $r=p+b$, czyli $\bi b$ = $\bi r-\bi p $.

Podobnie, skoro punkt $(2p,5r)$ leży na prostej o równaniu $y=2x+b$, to punkt ten musi spełniać to równanie. Podstawiając $2p$ za $x$ i $5r$ za $y$ w równaniu $y=2x+b$ daje:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$\bi b$ = $\bo 5 \bi r-\bo 4\bi p$.

Następnie możemy ustawić dwa równania równe $b$ równe sobie nawzajem i uprościć:

$b=r-p=5r-4p$

$3p = 4r$

Wreszcie, aby znaleźć $r/p$, musimy podzielić obie strony równania przez $p$ i przez $4$:

$3p = 4r$

$3={4r}/p$

3/4 $ = r / p $

Poprawna odpowiedź toB, 3/4 $.

Jeśli wybrałeś opcje A i D, być może błędnie sformułowałeś swoją odpowiedź ze współczynników w punkcie $(2p, 5r)$. Jeśli wybrałeś opcję C, być może pomyliłeś $r$ i $p$.

Zauważ, że chociaż jest to sekcja kalkulatora SAT, absolutnie nie potrzebujesz kalkulatora, aby go rozwiązać!

Silos zbożowy zbudowany jest z dwóch prawych okrągłych stożków i prawego okrągłego walca o wymiarach wewnętrznych przedstawionych na powyższym rysunku. Która z poniższych wartości jest najbliższa objętości silosu zbożowego w stopach sześciennych?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047.2

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Objętość silosu zbożowego można znaleźć, dodając objętości wszystkich brył, z których się składa (cylinder i dwa stożki). Silos składa się z cylindra (o wysokości 10 stóp i promieniu podstawy 5 stóp) i dwóch stożków (każdy o wysokości 5 stóp i promieniu podstawy 5 stóp). Wzory podane na początku części SAT Math:

Objętość stożka

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Objętość cylindra

$$V=πr^2h$$

można wykorzystać do określenia całkowitej objętości silosu. Ponieważ oba stożki mają identyczne wymiary, całkowita objętość silosu w stopach sześciennych jest wyrażona wzorem

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )π$$

co jest w przybliżeniu równe 1047,2 stopom sześciennym.

Ostateczna odpowiedź to D.

Jeśli $x$ jest średnią (średnią arytmetyczną) m$ i 9$, $y$ jest średnią 2m$ i 15$, a $z$ jest średnią 3m$ i 18$, ile wynosi średnia $x$, $y$ i $z$ wyrażona w $m$?

A) mln $ + 6 $
B) mln $ + 7 $
C) 2 miliony dolarów + 14 dolarów
D) 3 miliony dolarów + 21 dolarów

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Ponieważ średnia (średnia arytmetyczna) dwóch liczb jest równa sumie tych dwóch liczb podzielonej przez 2, równania $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$są prawdziwe. Średnia $x$, $y$ i $z$ jest równa ${x + y + z}/{3}$. Podstawiając wyrażenia w m dla każdej zmiennej ($x$, $y$, $z$) otrzymujemy

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ułamek ten można uprościć do $m + 7$.

Ostateczna odpowiedź to b.

Funkcja $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ jest przedstawiona na powyższej płaszczyźnie $xy$. Jeśli $k$ jest taką stałą, że równanie $f(x)=k$ ma trzy rzeczywiste rozwiązania, które z poniższych może być wartością $k$?

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Równanie $f(x) = k$ daje rozwiązania układu równań

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

I

$$y = k$$

Prawdziwe rozwiązanie układu dwóch równań odpowiada punktowi przecięcia wykresów dwóch równań na płaszczyźnie $xy$.

Wykres $y = k$ jest linią poziomą zawierającą punkt $(0, k)$ i trzykrotnie przecinającą wykres równania sześciennego (ponieważ ma ono trzy rozwiązania rzeczywiste). Biorąc pod uwagę wykres, jedyną linią poziomą, która przecina równanie sześcienne trzy razy, jest linia z równaniem $y = −3$ lub $f(x) = −3$. Dlatego $k$ to $-3$.

Ostateczna odpowiedź to D.

$$q={1/2}nv^2$$

Ciśnienie dynamiczne $q$ wytwarzane przez płyn poruszający się z prędkością $v$ można znaleźć za pomocą powyższego wzoru, gdzie $n$ jest stałą gęstością płynu. Inżynier lotnictwa używa wzoru, aby znaleźć ciśnienie dynamiczne płynu poruszającego się z prędkością $v$ i tego samego płynu poruszającego się z prędkością 1,5 $v$. Jaki jest stosunek ciśnienia dynamicznego płynu szybszego do ciśnienia dynamicznego płynu wolniejszego?

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Aby rozwiązać ten problem, musisz ułożyć równania ze zmiennymi. Niech $q_1$ będzie ciśnieniem dynamicznym wolniejszego płynu poruszającego się z prędkością $v_1$, a $q_2$ będzie ciśnieniem dynamicznym szybszego płynu poruszającego się z prędkością $v_2$. Następnie

$$v_2 =1,5v_1$$

Biorąc pod uwagę równanie $q = {1}/{2}nv^2$, podstawiając ciśnienie dynamiczne i prędkość szybszego płynu, otrzymujemy $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Ponieważ $v_2 = 1,5v_1$, wyrażenie $1,5v_1$ można zastąpić $v_2$ w tym równaniu, dając $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Podnosząc do kwadratu 1,5 $, możesz przepisać poprzednie równanie jako

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Dlatego stosunek ciśnienia dynamicznego szybszego płynu wynosi

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Ostateczna odpowiedź to 2,25 lub 9/4.

Dla wielomianu $p(x)$ wartość $p(3)$ wynosi -2$. Które z poniższych zdań dotyczących $p(x)$ musi być prawdziwe?

A) $x-5$ jest dzielnikiem $p(x)$.
B) $x-2$ jest dzielnikiem $p(x)$.
C) $x+2$ jest dzielnikiem $p(x)$.
D) Reszta z dzielenia $p(x)$ przez $x-3$ wynosi $-2$.

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI:Jeśli wielomian $p(x)$ podzielimy przez wielomian postaci $x+k$ (co uwzględnia wszystkie możliwe odpowiedzi w tym pytaniu), wynik można zapisać jako

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

gdzie $q(x)$ to wielomian, a $r$ to reszta. Ponieważ $x + k$ jest wielomianem stopnia 1 (co oznacza, że ​​zawiera tylko $x^1$ i nie ma wyższych wykładników), reszta jest liczbą rzeczywistą.

Dlatego $p(x)$ można zapisać jako $p(x) = (x + k)q(x) + r$, gdzie $r$ jest liczbą rzeczywistą.

Pytanie mówi, że $p(3) = -2$, więc to musi być prawda

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Teraz możemy podłączyć wszystkie możliwe odpowiedzi. Jeśli odpowiedź brzmi A, B lub C, $r$ wyniesie 0$, a jeśli odpowiedź brzmi D, $r$ wyniesie -2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0 $
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

To może być prawda, ale tylko wtedy, gdy $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0 $
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

To może być prawda, ale tylko wtedy, gdy $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To może być prawda, ale tylko wtedy, gdy $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

to będziezawsze bądź prawdziwybez względu na to, czym jest $q(3)$.

Spośród możliwych odpowiedzi, jedyna takamusiećprawdziwe dla $p(x)$ jest D, to reszta z dzielenia $p(x)$ przez $x-3$ wynosi -2.

Ostateczna odpowiedź to D.

Chcesz poprawić swój wynik SAT o 160 punktów?Napisaliśmy przewodnik o 5 najlepszych strategiach, których musisz użyć, aby mieć szansę na poprawę swojego wyniku. Pobierz teraz za darmo:

Tutaj musimy zajmować się liczbami urojonymi i ułamkami jednocześnie.

Musimy rozwiązać ten problem etapami (wykonując kilka średnich), aby odblokować pozostałe odpowiedzi w efekcie domina. Może to być mylące, zwłaszcza jeśli jesteś zestresowany lub masz mało czasu.

Jeśli nie znasz swojej drogiFunkcje, byłby to trudny problem.

Ponieważ to pytanie zawiera tak wiele informacji bez diagramu, może być trudno rozwiązać zagadkę w ograniczonym czasie.

Przy tak wielu różnych zmiennych w grze dość łatwo się pogubić.

Chcesz poprawić swój wynik SAT o 160 punktów?

Sprawdź naszenajlepsze w swojej klasie zajęcia przygotowujące do SAT online. GwarantujemyTwoje pieniądze z powrotemjeśli nie poprawisz wyniku SAT o 160 punktów lub więcej.

Nasze zajęcia są całkowicie online i tak jestprowadzone przez ekspertów SAT.Jeśli spodobał Ci się ten artykuł, pokochasz nasze zajęcia.Wraz z zajęciami prowadzonymi przez ekspertów otrzymasz spersonalizowane zadania domowe z tysiącami praktycznych problemów uporządkowanych według indywidualnych umiejętności, dzięki czemu będziesz się uczyć najskuteczniej. Damy Ci również krok po kroku, niestandardowy program do naśladowania, dzięki czemu nigdy nie będziesz zdezorientowany, co dalej studiować.

Wypróbuj bez ryzyka już dziś: